بررسی مجموعه های تعیین کننده ی رنگی در گرافها و ابرگرافها

فرض کنیم گراف ‎$g=(v,e)$‎، ‎$ s subseteq v(g)$‎ و ‎$c$‎ یک k-رنگ آمیزی معتبر از رأس های ‎$s$‎ باشد. اگر ‎$c$‎ را بتوان به طور منحصر به فرد به یک k‎-رنگ آمیزی معتبر از ‎$g$‎ گسترش دهیم، دراین صورت ‎$s$‎ را یک مجموعه ی تعیین کننده برای ‎$g$‎ می نامیم. اندازه کوچک ترین مجموعه ی تعیین کننده را عدد تعیین کننده ی ‎$g$‎ نامیده و با نماد ‎$d(g‎, ‎k)$‎ نشان می دهیم. مجموعه تعیین کنندگی برای رنگ آمیزی ابرگراف ها نیز به طور مشابه تعریف می شود. در این رساله مفهوم تعیین کنندگی را برای انواع رنگ آمیزی ها مورد بحث و بررسی قرار می دهیم. فرض کنیم ‎$i$‎ یک مجموعه مستقل ماکسیمم برای گراف ‎$r$-‎منتظم ‎$g$‎ باشد. یک ‎$(r+1)$-‎رنگ آمیزی معتبر ‎$c$‎ را رنگ آمیزی نقره ای نسبت به ‎$i$‎ می نامیم، هرگاه برای هر رأس ‎$v in i$‎، تمامی ‎$(r+1)$‎ رنگ، در همسایگی بسته ‎$v$‎ ظاهر شوند. گراف ‎$g$‎ را نقره ای می نامیم اگر دارای یک رنگ آمیزی نقره ای نسبت به یک مجموعه مستقل ماکسیمم ‎$i$‎ باشد. رنگ آمیزی نقره ای با مفهوم مجموعه تعیین کننده رنگی در ارتباط است و می توان گفت گراف ‎$r$-‎منتظم ‎$g$‎ نقره ای است اگر و فقط اگر عدد تعیین کنندگی رنگی آن با ‎$(r+1)$‎ رنگ برابر باشد با: ‎$d(g,r+1)= |v(g)|‎- ‎alpha(g)$‎. بنابراین این مسأله مطرح شده است که: ‎‎دسته گراف های ‎$r$-‎منتظمی را تعیین کنید که نقره ای باشند‎.‎ برای جواب دادن به این مسأله در فصل ‎ ef{ch‎: ‎silver}‎، گراف های ‎$i$-‎اشتراک بلوکی طرح های اشتاینری ‎$s(2,k,v)$‎، را در نظر گرفته و نشان می دهیم که تحت چه شرایطی این گراف ها نقره ای هستند. منظور از گراف ‎$i$-‎اشتراک بلوکی، گرافی است که رأس های آن بلوک های طرح است و دو رأس آن مجاور هستند اگر و فقط اگر بلوک های متناظر با آن ها دارای دقیقاً ‎$i$‎ عنصر مشترک باشند. از آن جائی که تعریف رنگ آمیزی نقره ای وابسته به مجموعه مستقل ماکسیمم گراف است، برای آن که نقره ای بودن گراف های پترسن تعمیم یافته، ‎$p(n,k)$‎، را بررسی کنیم، ابتدا عدد استقلال آن ها را مورد بررسی قرار می دهیم. لذا ‎کران هایی به ازای هر عدد زوج ‎$k$‎، ‎$k >2$‎، ارائه می دهیم و به ازای برخی مقادیر ‎$n$‎ و ‎$k$‎ مقدار دقیق ‎$alpha (p(n,k))$‎ را مشخص می کنیم. در مورد عدد استقلال گراف های پترسن تعمیم یافته این حدس وجود دارد که به ازای هر ‎$n$‎ و ‎$k$‎، ‎$alpha(p(n,k))geq lfloor{frac{4n}{5}} floor$‎. با استفاده از کران هایی به دست آمده، نشان می دهیم که به ازای ‎$ n > 3k$‎ این حدس درست است. در بخش آخر نقره ای بودن گراف های پترسن تعمیم یافته را بررسی کرده و نتایجی را در مورد آن به دست می آوریم. رنگ آمیزی ابرگراف ها از سال ‎1966‎ به بعد مورد توجه بوده است و رنگ آمیزی های مختلفی برای آن ها تعریف شده است. از آن جائی که هر طرح بلوکی را می توان به صورت یک ابرگراف در نظر گرفت، لذا به بررسی مجموعه ی تعیین کننده ی ‎$3$-‎رنگ آمیزی سیستم های سه گانه اشتاینر، ‎${ m sts}(v)$‎، می پردازیم. برای هر ‎${ m sts}(v)$‎، ‎$ 7 leq v leq 15$‎، کوچک ترین مجموعه ی تعیین کننده و بزرگ ترین مجموعه ی تعیین کننده ی می نیمال را محاسبه می کنیم. خاطر نشان می کنیم که به ازای هر ‎$ v geq 25$‎، یک ‎${ m sts}(v)$‎ وجود دارد که عدد تعیین کننده ی رنگی آن برابر ‎2‎ است و به ازای هر ‎$ v =6n+3$‎، می توان یک ‎${ m sts}(v)$‎ ساخت که اندازه بزرگ ترین مجموعه ی تعیین کننده ی می نیمال آن برابر ‎$v$‎ باشد و به ازای هر ‎$ v =6n+1$‎، می توان یک ‎${ m sts}(v)$‎ ساخت که اندازه بزرگ ترین مجموعه ی تعیین کننده ی می نیمال آن بزرگ تر یا مساوی با ‎$(v-n)$‎ باشد. هر مربع لاتین را می توان به صورت یک ابرگراف ‎$3$-‎بخشی، ‎$n$-‎متعادل در نظر گرفت. بنابراین به رنگ آمیزی این ابرگراف ها می پردازیم. یک تور‎$(k,n)$-‎ ‎$ k geq 3$‎، یک سیستم وقوع شامل ‎$n^2$‎ نقطه و ‎$kn$‎ خط ‎(بلوک)‎ است، به طوری که هر خط دارای ‎$n$‎ نقطه است. خطوط به ‎$k$‎ کلاس موازی که هر کلاس شامل ‎$n$‎ خط است، افراز می شوند و هر دو خط حداکثر در یک نقطه مشترک هستند. گرافی را که رئوس آن نقاط تور است و دو رأس آن مجاورند اگر و فقط اگر روی یک خط از تور واقع شده باشند، را گراف تور نامیده و با نماد ‎$l_k(n)$‎ نمایش می دهیم. حالت خاص ‎$k=3$‎ را گراف مربع لاتین، ‎$l_3(n)$‎ می نامیم. فرض کنیم ‎$h$‎ ابرگراف متناظر با مربع لاتین ‎$n imes n$‎، ‎$l$‎ باشد. اگر گراف یالی ‎$h$‎ را درنظر بگیریم، ‎$l(h) cong l_3(n)$‎ و رنگ آمیزی رأسی ‎$l_3(n)$‎ معادل با رنگ آمیزی یالی ابرگراف ‎$h$‎ است. % برای برخی از مقادیر خاص ‎$k$‎، عدد رنگی گراف ‎$l_k(n)$‎ را به دست می آوریم. سپس کران هایی را برای عدد رنگی گراف مربع لاتین به دست آورده و عدد رنگی برخی از مربع های لاتین را که از جدول کیلی یک گروه به دست آمده اند، محاسبه می کنیم. هم چنین به بررسی مختصری از نقره ای بودن گراف تور پرداخته و نتایجی را در مورد مجموعه ی تعیین کننده ی رنگی گراف مربع لاتین به دست می آوریم.